Rousseau e.........matemática?




                       (Pintura de Maurice Quentin de La Tour)



Jean-Jacques Rousseau foi um filósofo, teórico político, escritor e compositor autodidata suíço. É considerado um dos principais filósofos do iluminismo, que influenciou de diversas maneiras os movimentos revolucionários em diversos países europeus nos meados de 1700. A principal ideia de Rousseau constituía-se de que diversas instituições criadas com o advento do estado corromperiam o homem. Apesar disso, não venho aqui propor uma análise desta parte do trabalho de Rousseau, mas de uma outra parte esquecida.  
  Em sua obra, ‘’Discurso sobre a Origem e os Fundamentos da Desigualdade entre os Homens’’,Rousseau lança a base de uma situação cooperativa entre caçadores em um período primitivo.Ou seja,essa situação representaria um modelo de surgimento de cooperação,onde a procura por comida uniria indivíduos de um grupo de maneira coesa para caçar.De acordo com Rousseau,caso houvesse uma chance de ganho mútuo,a cooperação poderia surgir em um acontecimento como esse.A passagem no livro que delimita esse exemplo é bem pequena,mas que é fruto de estudo de diversos teóricos da área social.
  Sendo assim,proponho uma abordagem baseada em uma ferramenta analítica de extrema importância na teoria social:A teoria dos jogos.Não vou entrar em detalhes sobre as formulações  e os aspectos dessa teoria científica,mas deixarei algumas referências para um estudo posterior.

The stag hunt(Jogo de caça ao cervo)

‘’If a group of hunters set out to take a stag, they are fully aware that they would all have to remain faithfully at their posts in order to succeed; but if a hare happens to pass near one of them, there can be no doubt that he pursued it without qualm, and that once he had caught his prey, he cared very little whether or not he had made his companions miss theirs.’’

 –Rousseau, Discurso sobre a Origem e os Fundamentos da Desigualdade entre os Homens.

Desse modo, vamos a uma pequena reflexão sobre o animal caçado por esses homens. O cervo é um animal ágil, rápido e de grande porte, nenhum dos dois caçadores presentes na situação descrita conseguiriam caça-lo individualmente. Apesar disso, os caçadores poderiam, cada um sozinho, caçarem uma lebre, mas com menor valor (a lebre é bem menor que o cervo). E, caso um dos caçadores pegasse uma lebre, mas o outro não, esse poderia esconde-la e come-la sozinho. Desse modo, possuímos uma gama de resultados possíveis na descrição dada acima, como representa-los? Matrizes.

‘’ Em matemática, uma matriz m \times n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro.’’
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1tica%29)

Desse modo, vamos estabelecer alguns valores sobre o jogo (terminologia da teoria dos jogos) representado:
1-O cervo possuí um valor 4 vezes maior que a lebre C=4.L
2-L=1
Sendo assim, as estratégias que poderiam ser tomadas pelos jogadores(caçadores) são:
1-Ambos caçarem o cervo
2-Ambos caçarem lebres diferentes
3-Apenas um caçar a lebre, enquanto o outro tenta caçar o cervo. Ou seja, esse último não ganha nada (o cervo necessita de duas pessoas para a caça)
Chegando ao produto final:


                ("Image by Chris Jensen and Greg Riestenberg".)
                *Recompensa


Em síntese, caso ambos matem o cervo, cada um ganha R*=2(4/2).Se cada um caçar individualmente uma lebre, ganham, sozinhos R=1(duas lebres, uma para cada um).E se apenas um deles caçar uma lebre, enquanto o outro tenta o cervo, aquele que caçou a lebre ganha R=1,mas aquele que tentou o cervo ganha R=0(nada).Uma conclusão que podemos tirar é que, se ambos caçarem o cervo, ganham mais do que caçar lebres individualmente. Uma outra análise da matriz permite a percepção do leitor encontrar dois equilíbrios de Nash*: Ambos caçando a lebre e ambos caçando o cervo. Sendo assim, essa é uma boa analogia para a ideia de cooperação social.

*’’Deixe (S, f) ser um jogo com n participantes, onde Si é o conjunto de estratégias possíveis para o participante iS=S1 X S2 … X Sn é o conjunto de estratégias que especificam todas as ações em um jogo (somente uma estratégia por participante) e f=(f1(x), …, fn(x)) é a função de payoff. Deixe x_{-i} ser o conjunto de estratégias de todos os jogadores com exceção do jogador i. Quando cada jogador i \in {1, …, n} seleciona sua estratégia xi resultando no conjunto de estratégias x = (x1, …, xn) então o jogador i obtém o payoff fi(x). Note que o payoff depende da estratégia selecionada pelo jogador i e também pelas estratégias escolhidas pelos seus adversários. Um conjunto de estratégias x* \in S é um equilíbrio de Nash caso nenhuma alteração unilateral da estratégia é rentável para este jogador, ou seja: 




("Nature and Appearance of Deer" taken from "Livre du Roy Modus", created in the 14th century)




Fontes: -Game theory,Drew Fudenberg e Jean Tirole
-Teoria dos jogos-  Ronaldo Fiani
- Nash, John (1950) "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1):48-49.
- http://plato.stanford.edu/entries/game-theory/

-Alexandre
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Sobre Science Folk

A alguns meses atras refletimos sobre o andamento da divulgação cientifica no Brasil.Percebemos que a mesma estava sendo demonstrada de forma maqueada, ou seja somente com aspectos visuais agradaveis. Demonstraremos aqui a verdadeira ciencia, pura e bela como é, para todos aqueles que quiserem conhecer o que há alem da toca do coelho.
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